A mindenki által Toncsinak becézett fiút az elemi iskola elvégzése után szülei a bajai katolikus főgimnáziumba íratták be. A fiú különösen szorgalmasnak bizonyult és nagyon jól tanult. Szülei és testvérei nagy reményeket fűztek hozzá, benne látták a jövőt, a nehéz anyagi helyzetükből való kilábalást, ezért szinte mindent az ő támogatásának rendeltek alá. Antal emellett kiemelkedő tehetségnek mutatkozott a zenében is, már igen fiatalon virtuóz módon hegedült és zongorázott.

Szentgáli 1885-ben érettségizett, ezt követően tanulmányait a budapesti Királyi József Műegyetemen folytatta, ahol 1889-ben kapott mérnöki diplomát, miután sikeresen számot adott többek között a geodézia, az út-, vasút-, híd- és vízépítéstan terén elsajátított tudásáról. Az egyetemen ismerkedett meg évfolyamtársával, Gubányi Károllyal. Szoros, őszinte barátság alakult ki közöttük, amely élethosszig tartóan fennmaradt.

A diploma megszerzése után Szentgáli Bécsben töltötte egyéves katonai szolgálatát, majd 1890 decemberében a budapesti Magyar Királyi Folyammérnöki Hivatal állományába került, ahol segédmérnöki beosztásban folyószabályozási és árvízvédelmi feladatokat látott el. 1895-ben fizetés nélküli szabadságot igényelt a munkahelyén, hogy részt vehessen a Győr–Veszprém–Dombóvár vasútvonal bakonyi szakaszának építési munkálataiban, és csatlakozzon az ott építésvezetőként dolgozó Gubányihoz. Barátjával 1897-ig dolgoztak együtt a Bakonyszentlászló–Zirc közötti nehéz szakaszon, amely völgyáthidalásokkal, támfalak és alagutak építésével járt. 1895 nyarán Szentgáli és Gubányi a Cuha-völgyi mérnöki barakkjukban látták vendégül a Bakonyban éppen földtani kutatásokat végző műegyetemi professzorukat, Lóczy Lajost. Az ő tanácsára közösen elhatározták, hogy Kelet-Ázsiába utaznak, és kiveszik a részüket az ottani nagyszabású vasútépítési munkákból.

Gubányi 1897-ben útra kelt Mandzsúriába, viszont Szentgáli csak négy évvel később indult utána, mivel neki nem állt rendelkezésére az utazáshoz szükséges anyagi tőke. Folytatta a munkát a folyammérnöki hivatalban, közben tudatosan készült, gyűjtötte a pénzt, és amikor Gubányitól levélben értesült arról, hogy az ottani munkavállalás egyik feltétele az orosz nyelv ismerete, már Budapesten elkezdett oroszul tanulni. Szentgáli ekkorra már kiválóan beszélt németül, angolul és franciául.

1901. május 12-én indult el Bajáról, majd három nap múlva Nápolyban felszállt egy hatalmas német óceánjáróra, amelyre már korábban megváltotta a jegyét Jokohamáig. A hosszú hajóút során felkereste Port-Szaíd, Áden, Colombo, Szingapúr, Hongkong és Sanghaj városokat, majd Nagaszakiban egy orosz gőzhajóra átszállva folytatta az útját Vlagyivosztok felé, ahová június 21-én érkezett meg. Vlagyivosztokba érve Szentgáli legfőbb célja az volt, hogy mihamarabb megtalálja a vállalkozóként már négy éve Mandzsúriában dolgozó barátját, és csatlakozzon hozzá az épülő Kínai keleti vasútvonal munkálataiban.

Gubányi akkor éppen a Cseng-lung-ce-hágó alatt, Taimagou állomás közelében dolgozott a mandzsúriai erdőrengeteg mélyén, ahol egy hosszabb vasúti alagút építését vette át. Megérkezésekor Szentgáli rögvest bekapcsolódott a munkába, és egy időre megosztotta Gubányival a nehéz és felelősségterhes feladat fáradalmait. Szentgáli az építkezésről gyakran bejárt a sokféle náció lakta Vlagyivosztokba, és vidám, közvetlen természete révén igen könnyen barátkozott. Személyében nemcsak a mérnököt fedezték fel, hanem muzsikusként is hamar ismertté és népszerűvé vált. Zenei ismereteinek köszönhetően egyaránt bejáratos volt az ott élő orosz, amerikai, német és más közösségekbe. Mindenütt szívesen fogadták, és magas rangú katonatisztek, mérnökök keresték az alkalmat, hogy vele együtt zenélhessenek.

Taimagouban idővel kevesebb lett a munka, amit Gubányi már egymaga is győzött. Szentgáli ezért közben más megbízásokat is elvállalt, például újra kitűzte a vasútvonal 18 km hosszú, hanyagul lefektetett szakaszát Mudancsiang és Hailin között. A két magyar mérnök ezután megbeszélte, hogy különválnak, de a jövőben is figyelni és támogatni fogják egymást. Gubányi folytatta az alagút építését, Szentgáli pedig 1902 elején Vlagyivosztokba költözött, és egy dúsgazdag amerikai üzletember, David Clarkson vállalatához szegődött. Clarkson 1897 környékén érkezett meg Vlagyivosztokba, ahol egy kereskedőházat vezetett. Meglehetősen sokrétű üzleti tevékenységet folytatott szerte a Távol-Keleten, és több amerikai nagyvállalat kizárólagos helyi képviselőjeként igen komoly befolyásra tett szert. Főként építőanyag-kereskedelemmel, fakitermeléssel, szén- és gránitbányászattal, valamint téglagyártással foglalkozott, emellett jelentős építkezésekben is szerepet vállalt.

Vlagyivosztokban Szentgáli nemcsak Clarkson egyik legfőbb munkatársa lett, hanem együtt is lakott az amerikaival annak házában. Szentgáli feladata kezdetben üzletkötés volt. Kínában a rohamosan épülő vasutakhoz igen sok vashíd kellett, ezért Clarkson nagy amerikai vasgyárak képviseletében meghatalmazásokat írt és adott át Szentgálinak, megbízva őt azzal, hogy utazzon el az egyes helyszínekre, tárgyaljon az építésvezető főmérnökökkel, és szerezzen minél több megrendelést. Eme munka keretében a magyar mérnök bejárta Kínát és közben a kínai nyelvet is jól megtanulta. Clarkson és Szentgáli számára komoly üzletnek bizonyult a vlagyivosztoki kikötő és az ottani hatalmas szárazdokkok építése. Összeköttetései révén Clarkson cége elnyerte a beszállítás jogát, melynek értelmében nagy mennyiségű faragott gránitkövet kellett szállítaniuk. Az amerikai megbízta Szentgálit, hogy találja meg az ehhez szükséges lelőhelyeket. Szentgáli jó minőségű gránitot egyedül csak Vlagyivosztoktól 60 km-re, a nyílt tengeren fekvő Aszkold-szigeten talált, ahol ugyan zajlott már kőfejtés, ám az ottani mun kások hanyagsága miatt csekély eredményességgel. Clarkson és Szentgáli átvették a veszteségesen működő bányát, a magyar mérnök pedig Kínába utazott, ahol hely- és nyelvismeretét kihasználva kőfaragó munkásokat toborzott. A mintegy 500 főből álló fegyelmezett kínai munkaerő révén a kitermelés lendületbe jött, és a gránitbánya hamarosan nyereségessé vált.

A gránitüzlet már remekül haladt, amikor 1904-ben kitört az orosz–japán háború. Mivel a szállításban ideiglenesen akadályozva voltak, Szentgáli elhatározta, hogy a kényszerű leállást kihasználva hazalátogat. Március 13-án Harbinból Pekingbe utazott, majd Tiencsinből áthajózott Sanghajba, és itt egy hónapig időzött. Innét egy francia gőzösön Japánba ment, ahol 70 napig maradt, mert az Amerika felé induló hajókon már jó előre le volt foglalva minden jegy. A várakozás ideje alatt Szentgáli Japánban utazgatott, tanulmányozta a helyi kultúrát, valamint japán népdalokat gyűjtött (a későbbi években japánul is tökéletesen megtanult). Július 21-én hagyta el Japánt, és Honolulu érintésével 16 nap múlva San Franciscóba érkezett. Az Egyesült Államokban összesen 6 hetet töltött, végül az Atlanti-óceánt átszelve Londonon és Párizson keresztül tért haza. Sok időt nem tölthetett itthon, sürgősen vissza kellett utaznia Vlagyivosztokba. A háború miatt ugyanis nagy szükség volt a hajójavító szárazdokkok mielőbbi befejezésére, és a szerződésük kötelezte őket. A transzszibériai vasúton érkezett vissza a Távol-Keletre, ahol még javában zajlottak a harcok. A háború történéseinek Szentgáli is szemtanúja volt. Mindkét hadviselő fél területén megfordult, de komolyabb kellemetlensége nem származott belőle.

Szentgáli a kikötőépítés után is Clarkson alkalmazásában maradt. Clarkson szerteágazó érdekeltségekkel bírt az egész Távol-Keleten, ebből adódóan a magyar mérnök sokat utazott Japánban és Kínában, valamint járt Koreában is. Gáspár Ferenc hajóorvos Clarkson vlagyivosztoki házában találkozott Szentgálival, aki megmutatta neki a város környékét és sokat beszélgettek. Gáspár visszaemlékezéseiben megemlíti, hogy Szentgáli rendkívüli elfoglaltságú mérnök volt, találkozásuk idején egyszerre tizenhat épületen dolgozott. Bozóky Dezső sorhajóorvos is Clarkson otthonában ismerte meg Szentgálit, akit gyönyörű hegedű- és zongorajátékáért a városban Szvengálinak hívtak (Svengali egy – a századfordulón népszerű – irodalmi mű alakja, aki hipnotizálásra képes).

Szentgáli nagyon jól érezte magát Vlagyivosztokban, azonban 1911-ben családja nyomására búcsút kellett vennie a Távol-Kelettől. Hazatérve megnősült, Rausch Vilma személyében egy fiatal özvegyet vett feleségül. Esküvőjüket 1911. május 28-án tartották a budapesti Tabánban. Szentgáli ezután feleségével egy ideig Szentpéterváron és Moszkvában élt, ahol különféle kereskedelmi ügyletekkel foglalkozott. A házaspár 1913-ban végleg visszaköltözött Magyarországra.

Szentgáli a budapesti Róheim Károly és Fiai cégnél dolgozott műszaki igazgatói beosztásban, amikor kitört az első világháború, amelyben főhadnagyként ő is részt vett. 1917-ben Szibéria s az ottani viszonyok címmel megjelent tőle egy könyv, amelyet kifejezetten azzal a szándékkal írt, hogy tájékoztatást nyújtson az oroszországi hadifogságba esett magyarok hozzátartozóinak az ott várható körülményekről. A könyv megírásán túl Szentgáli más módon is igyekezett segíteni: zenészként több olyan koncerten is közreműködött, amelyet a hadikórház sebesültjeinek szórakoztatására, illetve a hadiárvák támogatása céljából szerveztek.

Még tartott az első világháború, amikor Szentgáli a Vízépítési Részvénytársaság vezérigazgatója lett. Ezután 1919. november 28-án államtitkári rangban a Fővárosi Közmunkák Tanácsa alelnökévé nevezték ki, és eme posztjánál fogva a székesfőváros törvényhatósági bizottságának is tagja volt. A későbbi években a kereskedelemügyi minisztérium égisze alatt működő Országos Közlekedési Bizottság és az Országos Középítési Tanács tagságában is egyaránt szerepelt. 1926 márciusától három mérnöktársával együtt a Szegedi Gazdasági Vasút építésén dolgozott. Szentgáli a hazai mérnöki szakmai közéletből is tevékenyen kivette a részét, 1930-ban megválasztották a Magyar Mérnök- és Építész-Egylet alelnökének.

Szentgáli még 1904. november 24-én rendes tagként felvételt nyert a Magyar Földrajzi Társaság körébe; az 1931. március 20-án tartott választmányi ülésen pedig a földrajztudomány terén nyújtott kiváló érdemei elismeréseként a társaság levelező tagjává választották.

1924. június 1-jén Budapesten megalakult a Magyar–Nippon Társaság, amelynek egyik alapítója és egyben első elnöke Szentgáli Antal volt, aki ezt a tisztséget 1933 decemberéig töltötte be, majd ügyvezető társelnökként működött tovább a szervezet vezetésében. A japán nyelvet és kultúrát kiválóan ismerő Szentgáli mindvégig aktív szereplője volt a társaságnak. Előadásokat tartott a japán zeneművészetről, valamint magas rangú vendégek fogadásában is részt vett. 1931 januárjában személyesen köszöntötte a Budapestre érkezett Takamacu japán császári herceget (Hirohito császár egyik öccsét) és feleségét, ezután ajándékot nyújtott át a hercegi párnak. Szentgáli az 1929-ben alapított Magyar–Indiai Társaságnak is alelnöke volt.

Szentgáli külföldről hazalátogatva, majd végleges hazatérése után is számos felolvasást tartott Budapesten és szülővárosában egyaránt. Kivá ló előadó hírében állt, mindenütt népes hallgatóság követte a kelet-ázsiai népek kultúrájáról és nyelvéről szóló többórás előadásait, melyeket saját fényképeivel illusztrált, valamint zongorán és hegedűn maga mutatta be az általa gyűjtött japán és kínai népdalokat. Szentgáli muzsikusként igen sok hangversenyen lépett fel, emellett zeneszerzéssel is foglalkozott.

A második világháború kitörése idején az idős Szentgáli árvaszéki hites szakértőként működött, továbbá saját céget alapított szén, koksz és egyéb bányatermékek közvetítésére, ám ez a vállalkozás rövidesen megszűnt. Szentgáli 1945. augusztus 26-án, délután fél kettőkor hunyt el Budán, halálának oka tüdőgyulladás volt.